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【是一条填空题,但是希望大侠们也能给个过程:1.在面积为2的三角形ABC中,E、F点分别是AB、AC的中点,点P在直线EF上,则(向量PC*向量PB+向量BC的平方)的最小值是___】
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更新时间:2024-06-21 00:06:01
问题描述:

是一条填空题,但是希望大侠们也能给个过程:1.在面积为2的三角形ABC中,E、F点分别是AB、AC的中点,点P在直线EF上,则(向量PC*向量PB+向量BC的平方)的最小值是___

杜继涛回答:
  P在直线EF上,所以三角形PBC面积为1   设角BPC为x,PB=a,PC=b,BC=c.则S三角形PBC=(1/2)absinx=1   ab=2/sinx   (向量PC*向量PB+向量BC的平方)=abcosx+c^2   余弦定理:c^2=a^2+b^2-2abcosx代入上式   (向量PC*向量PB+向量BC的平方)=abcosx+a^2+b^2-2abcosx   a^2+b^2>=2ab   所以(向量PC*向量PB+向量BC的平方)>=2ab-abcosx=(4-2cosx)/sinx   设(4-2cosx)/sinx=m,则msinx+2cosx=4,   使用辅助角公式:根号(m^2+4)*sin(x+a)=4   正弦范围【-1,1】   所以根号(m^2+4)大于等于4   解得最小值为2根号3
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